Değişken Kesitli Kapalı Hacimlerde Doğal Konveksiyonla Isı Transferinin İncelenmesi
Bu tip oyuklar farklı kesitli çatı geometrilerinde görülmektedir. Süreklilik, momentum ve enerji denklemleri sıkıştırılamaz, Newtonien olan, sabit viskoziteli bir akışkan için kartezyen koordinatlarda yazılmıştır. Akışı ve ısı transferini temsil eden denklemler boyutsuz olarak akım fonksiyonu-girdaplılık formuna dönüştürülerek tüm noktalar için sonlu farklar metodu kullanılarak çözüldü. Bu değerler kullanılarak sabit akım çizgileri ve sabit sıcaklık eğrileri çizilmiştir. Yaz ve kış sezonu için farklı Rayleigh sayılarında (103<Ra<107) yerel ve ortalama Nusselt sayıları hesaplanmıştır.
Anahtar kelimeler: Beşik ve mansart çatı, doğal konveksiyon, ısı transferi
ABSTRACT
INVESTIGATION OF NATURAL CONVECTION HEAT TRANSFER IN CORROGATED ENCLOJURES
In this study, natural convection heat transfer and fluid flow has been investigated in Gable and Gambrel roofs numerically. Continuity, momentum and energy equations were written in cartesian coordinates for incompressible, newtonien and viscous fluid. Governing equations were transported to non-dimensional streamfunction-vorticity form and then they solved using finite difference method in all points. Results are presented by streamlines and isotherm. Local and average Nusselt numbers were calculated in both summer and winter seasons for different Rayleigh number (103<Ra<107).
Keywords: Gable and Gambrel roof, natural convection, heat transfer
1. GİRİŞ
oğal konveksiyonla ısı transferi, özellikle son yıllarda üzerinde sıkça çalışılan konulardan biridir. Güneş kollektörleri ,binaların havalandırması, çift camlı pencereler, ısıtma ve soğutma tankları, elektronik elemanların soğutulması gibi birçok güncel alanda doğal konveksiyonla ısı transferine rastlanmaktadır [1]. Diğer yandan enerji tüketiminin hızla arttığı dünyada, enerjinin verimli kullanılması ile insanların yaşayabileceği daha rahat ve konforlu ortamların oluşturulması gerçeği, bu problemlerin incelenmesini daha da önemli kılmıştır. Özelikle binaların ısıl tasarımı enerji ekonomisi yönünden oldukça önemlidir. Bu nedenle binalarda ısı kayıplarının yoğun olduğu çatı ile tavan arasında kalan bölgede ısı transferinin incelenmesi önem kazanmıştır.
Literatürde farklı çatı geometrilerinde ısı transferinin ve akışkan hareketinin sayısal olarak incelendiği çalışmalara çok az rastlanmıştır. Bu çalışmalardan birinde Morsi ve Das [2] farklı geometrilerdeki kubbelerin (düz, eğimli, eliptik, yarım daire) akışkan hareketine ve ısı transferine etkisini incelemişlerdir. Çalışma sonucunda dairesel ve eliptik kubbede daha yüksek ısı transferi elde edilmiştir. Asan ve Namlı [3,4] üçgen kesitli (beşik) çatılardaki ısı transferi ve akışkan hareketini kış ve yaz sezonları için iki farklı çalışmada sayısal olarak incelemişlerdir. Her iki çalışmada da akım-girdap formülasyonu ile kontrol hacim yöntemi kullanılmış ve sayısal çözüm sürekli rejimde yapılmıştır. Çatı boyutlarının ve Rayleigh sayısının ısı transferi üzerine etkilerinin incelendiği çalışmalar sonucunda, yaz sezonunda Nusselt sayısının sadece boy-en oranına bağlı olarak arttığı, kış sezonunda ise hem boy-en hem de Rayleigh sayısına bağlı olarak arttığı bulunmuştur. Moukalled ve Acharya [5] alt ve üst duvarlara çıkıntılar ilave edilmiş üçgen kesitli kapalı bir hacim içinde doğal konveksiyonla ısı transferini sayısal olarak incelemişlerdir. Bu sistem, bir evin çatısı gibi düşünülerek iki farklı sezon için (kış ve yaz) farklı Rayleigh sayılarında tekrarlanmıştır. Varol vd. [6] mansart çatlılarda doğal taşınımla ısı transferini incelemek amacıyla detaylı bir çalışma yapmışlardır.
Bu çalışmada, beşik (üçgen kesitli) ve mansart çatılarda doğal konveksiyonla ısı transferi ve akışkan hareketi sayısal olarak incelenmiştir. Geometrinin doğal taşınım üzerindeki etkisini incelemek amacı ile karşılaştırma yapılmıştır. Çatı boyutlandırması, Elazığ ilinin de içinde bulunduğu üçüncü iklim bölgesindeki iklim şartlarına göre yapılmıştır. Çatı içerisindeki hava akışı (Pr=0.71) laminer kabul edilerek yaz ve kış sezonları için akış ve ısı transferi analizi yapılmıştır. Sayısal çözümler Rayleigh sayısının 103-107 aralığı için tekrarlanmıştır.
2. MATEMATİKSEL FORMÜLASYON ve SAYISAL ÇÖZÜM
Çatı boyutları Elazığ ilinin iklim şartlarına göre seçilmiş olup Şekil 1’de gösterilmiştir. Akışkanın viskoz ve sıkıştırılamaz Newtonian akışkan olduğu ve farklı sıcaklıklardaki çatı (Tç) ile tavan (Tt) arasındaki kapalı hacimde hareket ettiği kabul edilmiştir. Çatının şekil düzlemine dik doğrultudaki boyutu büyük olduğundan matematiksel ifadeler iki boyutlu akış için düzenlenmiştir. Çatı ile tavanın farklı sabit sıcaklıklarından dolayı oluşan yoğunluk değişimi, çatı içerisindeki akışkanın hareket etmesine sebep olur. Dolayısıyla sürekli rejimde doğal konveksiyondan söz edilebilir. Akışkanın hareketinde konveksiyonun radyasyona göre çok daha fazla etkili olmasından dolayı radyasyonla ısı transferi ihmal edilmiştir. Bu çalışmada laminer akış göz önüne alınarak matematiksel formülasyon düzenlenmiştir [7].
Laminer doğal konveksiyonda, akışkan hareketi ve ısı transferini çözebilmek için basınç, hız vektörü ve sıcaklık gibi üç değişkenin belirlenmesi gerekir. Bu değişkenlerin belirlenebilmesi için süreklilik, momentum ve enerji denklemleri çözülmelidir. Laminer akışta bu üç diferansiyel denklemin çözümü ile akışkan hareketi ve ısı transferi hesaplanır.
2.1. Temel Denklemler
Akım-girdap formülasyonu ile düzenlenen iki boyutlu, sürekli rejimde, süreklilik, momentum ve enerji denklemleri;
şeklinde yazılır.
Yukarıdaki denklemlerin elde edilmesinde aşağıdaki boyutsuz büyüklükler kullanılmıştır.
Burada Tc, soğuk olan çatı yüzeyi, Th ise sıcak olan çatı yüzeyidir. Kış ve yaz sezonlarında Tc ve Th farklılık göstermektedir. Rayleigh ve Prandtl sayıları
şeklinde verilmiştir.
Yerel Nusselt sayısı için;
eşitliği yazılabilir. Bu eşitliğin x ekseni boyunca entegrasyonu alınarak ortalama Nusselt sayısı eşitliği
elde edilir.
2.2. Sınır Şartları Diferansiyel denklemlerin çözümü için gerekli olan sınır şartları;
Çatıda (T=Tç);
Tavanda (T=Tt);
Simetri ekseninde;
şeklinde ifade edilir.
2.3. Grid Dağılımı
Diferansiyel denklemlerin çözümünden elde edilen sonuçların güvenilir olabilmesi için uygun grid sisteminin oluşturulması gerekmektedir. Bu nedenle grid dağılımı oluşturulurken her iki çatı tipinde eğimli yüzeylerdeki düğümlerin kesişmelerine dikkat edilmiştir. Beşik çatının sayısal çözümü için kullanılan grid sistemi Şekil 2.a’da görülmektedir. Şekilde görüldüğü gibi bu çatı tipinde sabit x ve y aralıklı grid sistemi kullanılmıştır. Mansart çatıda ise geometrik alan 3 farklı bölgeye ayrılmış ve her bölge için sabit x ve y aralıklı grid sistemi kullanılmıştır (Şekil 2.b).
2.4. Lineer Cebirsel Denklemlerin Çözümü
Lineer Cebirsel denklemlerin çözümü için çeşitli yöntemler mevcuttur. Bunları direkt metotlar ve iteratif (tekrarlamalı) metotlar olarak iki gruba ayrılabilir [8]. Bu çalışmada cebirsel denklem takımlarının çözümü için iteratif metotlardan ‘Successive Under Relaxation (SUR)’ kullanılmıştır. Bu metot diğer iteratif metotlara göre daha hızlı yakınsadığı için seçilmiştir. Bu metotta hesaplanan değişkenin yeni değerinden çıkarılan eski değeri belirli bir relaksiyon faktörü ile çarpılıp eski değerine eklenir. Denklem olarak bu metodun ifadesi aşağıdaki gibidir:
BuradaT0, değişkenin eski değeri; Thesaplama, hesaplamalar sonucunda bulunmuş değeri; T1 bir sonraki adımda kullanılacak yeni değeri; r ise relaksiyon faktörüdür (r <1). Her iki çatı tipi için hazırlanan Fortran programlarında q, W , Y değişkenlerinin yeni değerlerinin bulunması için farklı relaksiyon faktörleri denenerek en uygun ‘r’ değerleri tespit edilmiştir. Tüm cebirsel denklemlerin çözümü için yukarıda açıklanan yöntem kullanılmıştır. Her düğüm noktasında yeni hesaplanan değerler ile bir önceki değerleri karşılaştırılarak, aralarındaki fark belirli bir toleransın (yakınsama toleransı) altına düşünceye kadar işlemler tekrarlanmıştır. Bu çalışmada yakınsama toleransı olarak 10-4 kullanılmıştır.
3. SONUÇLARIN İRDELENMESİ
3.1. Optimum Grid Sayısının Tespiti
Diferansiyel denklemlerin sabit grid aralıklarındaki çözümü göstermiştir ki elde edilen sonuçların güvenilir olabilmesi için grid sayısının yeterince yüksek olması gerekmektedir. Bu durumda akış bölgesinde bilinmeyen nokta sayısı aşırı miktarda artmakta ve hesaplama süresi uzamaktadır. Bunun için sayısal sonuçları etkilemeyecek optimum grid sayısının belirlenmesi gerekmektedir. Tablo 1’de çatılar için seçilen grid sayıları verilmiş olup, bu grid sayılarında hesaplamalar tekrarlanarak ortalama Nusselt sayısında değişimin yaşanmadığı minimum grid sayısı optimum olarak seçilmiştir. Şekil 3’te beşik ve mansart çatı tipleri için farklı grid sayılarında elde edilen ortalama Nusselt sayılarına ait grafikler gösterilmiştir. Bu sonuçlara göre her iki çatı tipi için optimum grid sayısı yaz sezonu için 97x97 ve kış sezonu için 77x77 olarak alınmıştır.
3.2. Sonuçların Literatür İle Karşılaştırması
Mevcut çalışmada elde edilen sayısal sonuçların doğruluğunu kontrol etmek için literatürdeki benzer çalışmalar ile karşılaştırmak gerekir. Bu çalışmada beşik çatıda yaz sezonu için hesaplanan yerel ve ortalama Nusselt sayıları literatürdeki çalışmalarla karşılaştırılmış ve sonuçlar Şekil 4 ve 5’de verilmiştir. Şekil 6 ve 7’de görüldüğü gibi hesaplanan yerel ve ortalama Nusselt sayıları ile literatürdeki [4, 9] değerler birbirine çok yakındır. Dolayısıyla bu çalışmada kullanılan sayısal yöntem ve matematiksel formülasyonun doğruluğu ispatlanmıştır.
3.3. Akış ve Sıcaklık Alanının İncelenmesi
Beşik çatının yaz sezonunda tüm Rayleigh sayılarındaki akışkan hareketi tek akış hücresinden oluşmaktadır. Ra=103’te akış hücresinin merkezi simetri yüzeyine daha yakın iken (Şekil 6.a sol taraf) Ra=107’de bu merkez eğimli sıcak yüzey boyunca çatının alt ucuna doğru kaymaktadır (Şekil 6.b sol taraf). Bu kayma hareketiyle birlikte en dıştaki sabit akım çizgisi dolayısıyla da akışkan hareketi simetri yüzeyinden uzaklaşmaktadır. Böylece simetri yüzeyinin alt kısmındaki durgun bölge genişlemektedir. Bunun sebebi sıcaklık farkının artmasıyla alan olarak soğuk yüzeyden daha büyük olan eğimli sıcak yüzeyin, akışkan hareketi üzerindeki etkisinin artmasıdır. Bu etki beraberinde akışkanın soğuk olan alt yüzeydeki hareketinin, sıcak olan üst yüzeylere doğru kaymasına neden olmaktadır.
Mansart çatının yaz sezonuna ait akışkan hareketi de tek akış hücrelidir. Ra=103’te hücre merkezi, soğuk alt yüzeye temas eden eğimli yüzeye yakındır (Şekil 6.a sol taraf). Ra=107’de hücre merkezi mansart çatının sıcak olan iki eğimli yüzeyinin kesişme noktasına doğru kayar (Şekil 6.b sol taraf ). Bu hareket akış hücre merkezinin beşik çatının yaz sezonunda görülen aynı eğime sahip sıcak yüzeye doğru kaymasına benzemektedir. Rayleigh sayısının artmasıyla hücre merkezinin etrafındaki eğriler daha da sıklaşarak bu bölgede daha güçlü bir konveksiyon oluşur. Tüm Rayleigh sayılarında çatının sağ alt kısmında akışkanın durgun olduğu bölgeler oluşmuştur. Akış hızları beşik çatıdakine benzerdir.
Beşik çatının yaz sezonunda Ra=103’te sabit sıcaklık eğrisi (Şekil 6.a sağ taraf)’da gösterilmiştir. Şekilde görüldüğü gibi sabit sıcaklık eğrileri eşit aralıklı ve sıcak olan eğimli yüzey ile soğuk olan alt yüzeye yakın bulunmaktadır. Orta bölgelerde ise sabit sıcaklığa sahip geniş bir alan vardır. Bu durumda kondüksiyonun ısı transferi üzerinde daha etkili olduğu söylenebilir. Rayleigh sayısının 107 olmasıyla birlikte konveksiyonun ısı transferine etkisi daha da belirginleşir (Şekil 6.b sağ taraf). Eğimli yüzeyin dik duvara yakın bölgelerindeki sabit sıcaklık eğrilerinde soğuk alt yüzeye doğru dalgalı bir hareket başlar. Böylece orta kısımdaki sabit sıcaklıklı bölge daralarak konveksiyonla ısı transferi tüm kapalı hacimde etkili olur.
Mansart çatıda yaz sezonunda konveksiyonun ısı transferi üzerindeki etkisi, beşik çatıya göre daha az olmaktadır Bunun sebebi mansart çatının sıcak olan üst eğimli yüzeyleri ile soğuk olan alt yüzeyi arasındaki mesafenin beşik çatıya oranla daha büyük olmasıdır. Bu mesafe nedeniyle Ra=103’te sıcak ve soğuk yüzeylere yakın olan bölgeler dışındaki büyük bir alanda sıcaklık sabittir (Şekil 6.a sağ taraf). Sıcak ve soğuk yüzeylere yakın bölgelerdeki sabit sıcaklık eğrileri ise bu yüzeylere paraleldir. Ra=107’de sıcak olan eğimli yüzeylere yakın sabit sıcaklık eğrileri aşağıya doğru eğim almıştır. Ancak bu Rayleigh değerinde bile sabit sıcaklıklı geniş bir bölge bulunmaktadır. (Şekil 6.b sağ taraf).
Beşik çatıda yaz sezonunda olduğu gibi kış sezonunda da Ra=103 için akışkan hareketi tek akış hücresinden oluşmaktadır (Şekil 7.a sol taraf). Rayleigh sayısı 107 olduğunda simetri yüzeyine yakın olan ve ‘y’ yönünde yüksekliğin maksimum olduğu bölgelerde iki ayrı akış hücresi daha oluşur (Şekil 7.b sol taraf). Bu iki hücreden biri sıcak olan alt yüzeye diğeri de soğuk olan eğimli yüzeye daha yakındır. Ayrıca bu iki akış hücresini dıştan saran ve sıcak ile soğuk yüzeyler arasında hareket eden sabit akım çizgisi döngü yapmaktadır. Sıcak alt yüzey ile soğuk eğimli yüzeyin kesiştiği noktada ve eğimli yüzeyin sağ tarafında en üst kısmında iki küçük akış hücresi daha oluşmuştur. Bunlar ilk baştaki ana akış hücresinden kopan hücreler olup bu bölgelerde küçük girdapların oluştuğunu göstermektedir. Kış sezonunda daha yüksek akış hızıyla birlikte kapalı hacmin tamamında etkili olan konveksiyon akışı görülmektedir.
Mansart çatıda kış sezonuda Ra=103’teki akışkan hareketi yaz sezonuna benzerdir (Şekil 7.a sol taraf). Ancak Ra=107’de akış hücre merkezi sıcak alt yüzey ile soğuk eğimli yüzeyin kesişme noktasına doğru kayar (Şekil 7.b sol taraf). Bu arada en dıştaki akım çizgisi sıcak olan alt yüzeylere dalgalı hareketlerle daha yakın geçmekte ve çatınının büyük bir kısmında sabit akım eğrileri seyrek aralıklarla döngü yapmaktadır. Bu nedenle mansart çatıda konveksiyonun etkisinin beşik çatıya göre düşük olduğu söylenebilir. Bunun sebebi mansart çatıda sıcak alt yüzey alanının soğuk eğimli yüzeylerin alanına oranının beşik çatıya göre düşük olmasıdır. Bu yüzden yüksek Rayleigh sayılarında bile beşik çatıya göre daha düşük akış hızları görülür.
Beşik çatıda yaz sezonunda olduğu gibi kış sezonunda da Ra=103 için konveksiyonun ısı transferine etkisi azdır (Şekil 7.a sağ taraf). Ancak Ra=107’de çatının tamamını dolduran sabit sıcaklık eğrileri görülmektedir (Şekil 7.b sağ taraf). Bu durumda ısı transferinin de oldukça arttığı muhakkaktır. Ancak Rayleigh sayısının yüksek olduğu bu durumda laminer akışın halen devam ettiğini söylemek doğru olmayabilir. Yüksek Rayleigh sayılarında kış sezonu için yaz sezonuna oranla konveksiyonun ısı transferine etkisi daha fazladır.
Mansart çatıda konveksiyonun ısı transferine etkisi yaz sezonunda olduğu gibi kış sezonunda da Ra=107’de olmaktadır. Özellikle soğuk eğimli çatı yüzeyi ile alttaki sıcak yüzeyin kesişme noktasındaki sabit sıcaklık eğrilerinin konveksiyon etkisiyle sıcak yüzeye doğru hareket ettiği görülür (Şekil 7.b sağ taraf). Yüksek Rayleigh sayılarında kış sezonu için yaz sezonuna göre konveksiyonun daha çok etkili olduğu söylenebilir.
3.4. Isı Transferinin İncelenmesi
3.4.1. Yerel Nusselt sayıları
Beşik ve Mansart çatı tiplerinde Ra=103 ve 106 için yaz ve kış sezonunda yerel Nusselt sayılarının tavan ve çatı yüzeyleri boyunca değişimleri Şekil 8-11’de verilmiştir. Şekil 8’de görüldüğü gibi yaz sezonunda Ra=103’te mansart çatıdaki yerel Nusselt sayısı değişimi beşik çatıdakine benzer bir eğilim göstermekle birlikte daha düşük değerdedir. Bunun sebebi mansart çatıdaki eğim açısının beşik çatıya oranla daha büyük olmasından kaynaklanmaktadır. Ra=106 olduğunda mansart çatıdaki yerel Nusselt sayısında dalgalanmalar olmakla birlikte daha düşük değerlerdedir (Şekil 9).
Kış sezonu için her iki çatı tipinde Ra=103’te yerel Nusselt sayılarında yaz sezonuna benzer eğilimler görülmekle birlikte, Ra=106 olduğunda yerel Nusselt sayısı değişimlerinde dalgalanmalar görülmektedir. Sonuçta Ra=106’da her iki çatı için konveksiyonun ısı transferi üzerine etkisinin arttığını göstermektedir.
3.4.2. Ortalama Nusselt Sayıları
Yaz sezonunda beşik ve mansart çatılar için Rayleigh sayısının 105 değerine kadar ortalama Nusselt sayılarında bir değişim görülmemekle birlikte Ra=105’den sonra hızlı bir artış olmaktadır (Şekil 12). Şekilde görüldüğü gibi bu artış miktarı mansart çatıda daha fazladır.
Kış sezonunda Ra=105 değerine kadar beşik ve mansart çatıdaki ortalama Nusselt sayıları sabit bir eğilim göstermektedir (Şekil 13). Ra=105’den sonra her iki çatı için ortlama Nusselt sayılarında büyük bir artış görülmektedir. Yaz sezonuna oranla kış sezonunda Rayleigh sayısının artmasıyla ulaşılan Nusselt sayısı değerleri çok daha yüksektir.
4. SONUÇLAR
Beşik ve Mansart çatılarda konveksiyonla ısı transferi probleminden çıkarılan sonuçlar aşağıdaki gibi özetlenebilir:
Çalışmada kullanılan sayısal çözüm metodunun bu tip problemlerin çözümünde kullanılabilirliği ispatlanmıştır.
Rayleigh sayısı ve çatı geometrisinin akış ve sıcaklık alanlarını direkt etkilediği tespit edilmiştir.
Her iki çatı tipi için kış sezonundaki yerel Nusselt sayıları yaz sezonuna göre daha yüksektir.
Rayleigh sayıları arttıkça yerel ve ortalama Nusselt sayıları artmaktadır.
Yaz ve kış sezonunda mansart çatıdaki ortalama Nusselt sayısı beşik çatıya oranla daha yüksektir.
Yaz sezonuna oranla kış sezonunda Rayleigh sayısının artmasıyla ulaşılan ortalama Nusselt sayısı değerleri çok daha yüksektir
SEMBOLLER
g : Yerçekimi ivmesi (m/s2)
Gr : Grashof sayısı
H : Çatı yüksekliği (m)
L : Çatı uzunluğu (m)
Nux : Yerel Nusselt sayısı
Nu : Ortalama Nusselt sayısı
Pr : Prandtl sayısı
r : Relaksiyon faktörü
Ra : Rayleigh sayısı
T : Sıcaklık (K)
Tc : Çatının soğuk yüzey sıcaklığı (K)
Th : Çatının sıcak yüzey sıcaklığı (K)
T1 : Sıcaklığın yeni değeri (K)
T0 : Sıcaklığın eski değeri (K)
Thesaplanan : Sıcaklığın hesaplanmış değeri (K)
Tç : Çatı yüzey sıcaklığı (K)
Tt : Tavan yüzey sıcaklığı (K)
x : Yatay kartezyen koordinat
y : Dikey kartezyen koordinat
Dx : ‘x’ yönündeki boyutsuz grid aralığı
Dy : ‘y’ yönündeki boyutsuz grid aralığı
b : Isıl genleşme katsayısı (K-1)
y : Akım fonksiyonu
w : Girdap fonksiyonu
Y : Boyutsuz akım fonksiyonu
y : Boyutsuz girdap fonksiyonu
q : Boyutsuz sıcaklık fonksiyonu
r : Yoğunluk (kg/m3)
u : Kinematik viskozite (m2/s)
KAYNAKLAR
[1] www.eie.gov.tr
[2] Morsi, Y.S., Das, S., 2003, Numerical investigation of natural convection inside complex enclosure, Heat Transfer Engineering, 24, No.2, 30-41.
[3] Asan, H., Namli, L., 2001, Numerical simulation of bu oyant flow in a roof of triangular cross-section under winter day boundary conditions, Energy and Buildings, 33, 753-757.
[4] Asan, H., Namli, L., 2000, Laminar natural convection in a pitched roof of triangular cross-section: summer day boundary conditions, Energy and Buildings, 33, 69-73.
[5] Moukalled, F., Acharya, S., 2001, Natural convection in a trapezoidal enclosure with offset baffles, Journal of Thermophysics and Heat Transfer, 15, No.2, 212-218.
[6] Varol, Y., Koca, A., Oztop, H.F., Natural convection he at transfer in gambrel roof, Building Environment, 2006 (In print).
[7] Koca, A., 2005, Farklı çatı tiplerinde laminer doğal konveksiyonla ısı transferinin sayısal olarak incelenmesi, Doktora Tezi, Fırat Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, 84s.
[8] Özışık, M.N., 2000, Finite Difference Methods in Heat Transfer. CRC Press, Florida, 412p.
[9] Akinsete, V.A., Coleman, T.A., 1982, Heat transfer by steady laminar free convection in triangular enclosures, Int. J. Heat and Mass Transfer, 25, 991-998.
(a)Yasin VAROL - Ahmet KOCA(a) - Hakan F. ÖZTOP(b)
(a) Fırat Üniversitesi Teknik Eğitim Fakültesi Makina Eğitimi Bölümü
(b) Fırat Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makina Mühendisliği Bölümü
Anahtar kelimeler: Beşik ve mansart çatı, doğal konveksiyon, ısı transferi
ABSTRACT
INVESTIGATION OF NATURAL CONVECTION HEAT TRANSFER IN CORROGATED ENCLOJURES
In this study, natural convection heat transfer and fluid flow has been investigated in Gable and Gambrel roofs numerically. Continuity, momentum and energy equations were written in cartesian coordinates for incompressible, newtonien and viscous fluid. Governing equations were transported to non-dimensional streamfunction-vorticity form and then they solved using finite difference method in all points. Results are presented by streamlines and isotherm. Local and average Nusselt numbers were calculated in both summer and winter seasons for different Rayleigh number (103<Ra<107).
Keywords: Gable and Gambrel roof, natural convection, heat transfer
1. GİRİŞ
oğal konveksiyonla ısı transferi, özellikle son yıllarda üzerinde sıkça çalışılan konulardan biridir. Güneş kollektörleri ,binaların havalandırması, çift camlı pencereler, ısıtma ve soğutma tankları, elektronik elemanların soğutulması gibi birçok güncel alanda doğal konveksiyonla ısı transferine rastlanmaktadır [1]. Diğer yandan enerji tüketiminin hızla arttığı dünyada, enerjinin verimli kullanılması ile insanların yaşayabileceği daha rahat ve konforlu ortamların oluşturulması gerçeği, bu problemlerin incelenmesini daha da önemli kılmıştır. Özelikle binaların ısıl tasarımı enerji ekonomisi yönünden oldukça önemlidir. Bu nedenle binalarda ısı kayıplarının yoğun olduğu çatı ile tavan arasında kalan bölgede ısı transferinin incelenmesi önem kazanmıştır.
Literatürde farklı çatı geometrilerinde ısı transferinin ve akışkan hareketinin sayısal olarak incelendiği çalışmalara çok az rastlanmıştır. Bu çalışmalardan birinde Morsi ve Das [2] farklı geometrilerdeki kubbelerin (düz, eğimli, eliptik, yarım daire) akışkan hareketine ve ısı transferine etkisini incelemişlerdir. Çalışma sonucunda dairesel ve eliptik kubbede daha yüksek ısı transferi elde edilmiştir. Asan ve Namlı [3,4] üçgen kesitli (beşik) çatılardaki ısı transferi ve akışkan hareketini kış ve yaz sezonları için iki farklı çalışmada sayısal olarak incelemişlerdir. Her iki çalışmada da akım-girdap formülasyonu ile kontrol hacim yöntemi kullanılmış ve sayısal çözüm sürekli rejimde yapılmıştır. Çatı boyutlarının ve Rayleigh sayısının ısı transferi üzerine etkilerinin incelendiği çalışmalar sonucunda, yaz sezonunda Nusselt sayısının sadece boy-en oranına bağlı olarak arttığı, kış sezonunda ise hem boy-en hem de Rayleigh sayısına bağlı olarak arttığı bulunmuştur. Moukalled ve Acharya [5] alt ve üst duvarlara çıkıntılar ilave edilmiş üçgen kesitli kapalı bir hacim içinde doğal konveksiyonla ısı transferini sayısal olarak incelemişlerdir. Bu sistem, bir evin çatısı gibi düşünülerek iki farklı sezon için (kış ve yaz) farklı Rayleigh sayılarında tekrarlanmıştır. Varol vd. [6] mansart çatlılarda doğal taşınımla ısı transferini incelemek amacıyla detaylı bir çalışma yapmışlardır.
Bu çalışmada, beşik (üçgen kesitli) ve mansart çatılarda doğal konveksiyonla ısı transferi ve akışkan hareketi sayısal olarak incelenmiştir. Geometrinin doğal taşınım üzerindeki etkisini incelemek amacı ile karşılaştırma yapılmıştır. Çatı boyutlandırması, Elazığ ilinin de içinde bulunduğu üçüncü iklim bölgesindeki iklim şartlarına göre yapılmıştır. Çatı içerisindeki hava akışı (Pr=0.71) laminer kabul edilerek yaz ve kış sezonları için akış ve ısı transferi analizi yapılmıştır. Sayısal çözümler Rayleigh sayısının 103-107 aralığı için tekrarlanmıştır.
2. MATEMATİKSEL FORMÜLASYON ve SAYISAL ÇÖZÜM
Çatı boyutları Elazığ ilinin iklim şartlarına göre seçilmiş olup Şekil 1’de gösterilmiştir. Akışkanın viskoz ve sıkıştırılamaz Newtonian akışkan olduğu ve farklı sıcaklıklardaki çatı (Tç) ile tavan (Tt) arasındaki kapalı hacimde hareket ettiği kabul edilmiştir. Çatının şekil düzlemine dik doğrultudaki boyutu büyük olduğundan matematiksel ifadeler iki boyutlu akış için düzenlenmiştir. Çatı ile tavanın farklı sabit sıcaklıklarından dolayı oluşan yoğunluk değişimi, çatı içerisindeki akışkanın hareket etmesine sebep olur. Dolayısıyla sürekli rejimde doğal konveksiyondan söz edilebilir. Akışkanın hareketinde konveksiyonun radyasyona göre çok daha fazla etkili olmasından dolayı radyasyonla ısı transferi ihmal edilmiştir. Bu çalışmada laminer akış göz önüne alınarak matematiksel formülasyon düzenlenmiştir [7].
Laminer doğal konveksiyonda, akışkan hareketi ve ısı transferini çözebilmek için basınç, hız vektörü ve sıcaklık gibi üç değişkenin belirlenmesi gerekir. Bu değişkenlerin belirlenebilmesi için süreklilik, momentum ve enerji denklemleri çözülmelidir. Laminer akışta bu üç diferansiyel denklemin çözümü ile akışkan hareketi ve ısı transferi hesaplanır.
2.1. Temel Denklemler
Akım-girdap formülasyonu ile düzenlenen iki boyutlu, sürekli rejimde, süreklilik, momentum ve enerji denklemleri;
şeklinde yazılır.
Yukarıdaki denklemlerin elde edilmesinde aşağıdaki boyutsuz büyüklükler kullanılmıştır.
Burada Tc, soğuk olan çatı yüzeyi, Th ise sıcak olan çatı yüzeyidir. Kış ve yaz sezonlarında Tc ve Th farklılık göstermektedir. Rayleigh ve Prandtl sayıları
şeklinde verilmiştir.
Yerel Nusselt sayısı için;
eşitliği yazılabilir. Bu eşitliğin x ekseni boyunca entegrasyonu alınarak ortalama Nusselt sayısı eşitliği
elde edilir.
2.2. Sınır Şartları Diferansiyel denklemlerin çözümü için gerekli olan sınır şartları;
Çatıda (T=Tç);
Tavanda (T=Tt);
Simetri ekseninde;
şeklinde ifade edilir.
2.3. Grid Dağılımı
Diferansiyel denklemlerin çözümünden elde edilen sonuçların güvenilir olabilmesi için uygun grid sisteminin oluşturulması gerekmektedir. Bu nedenle grid dağılımı oluşturulurken her iki çatı tipinde eğimli yüzeylerdeki düğümlerin kesişmelerine dikkat edilmiştir. Beşik çatının sayısal çözümü için kullanılan grid sistemi Şekil 2.a’da görülmektedir. Şekilde görüldüğü gibi bu çatı tipinde sabit x ve y aralıklı grid sistemi kullanılmıştır. Mansart çatıda ise geometrik alan 3 farklı bölgeye ayrılmış ve her bölge için sabit x ve y aralıklı grid sistemi kullanılmıştır (Şekil 2.b).
2.4. Lineer Cebirsel Denklemlerin Çözümü
Lineer Cebirsel denklemlerin çözümü için çeşitli yöntemler mevcuttur. Bunları direkt metotlar ve iteratif (tekrarlamalı) metotlar olarak iki gruba ayrılabilir [8]. Bu çalışmada cebirsel denklem takımlarının çözümü için iteratif metotlardan ‘Successive Under Relaxation (SUR)’ kullanılmıştır. Bu metot diğer iteratif metotlara göre daha hızlı yakınsadığı için seçilmiştir. Bu metotta hesaplanan değişkenin yeni değerinden çıkarılan eski değeri belirli bir relaksiyon faktörü ile çarpılıp eski değerine eklenir. Denklem olarak bu metodun ifadesi aşağıdaki gibidir:
BuradaT0, değişkenin eski değeri; Thesaplama, hesaplamalar sonucunda bulunmuş değeri; T1 bir sonraki adımda kullanılacak yeni değeri; r ise relaksiyon faktörüdür (r <1). Her iki çatı tipi için hazırlanan Fortran programlarında q, W , Y değişkenlerinin yeni değerlerinin bulunması için farklı relaksiyon faktörleri denenerek en uygun ‘r’ değerleri tespit edilmiştir. Tüm cebirsel denklemlerin çözümü için yukarıda açıklanan yöntem kullanılmıştır. Her düğüm noktasında yeni hesaplanan değerler ile bir önceki değerleri karşılaştırılarak, aralarındaki fark belirli bir toleransın (yakınsama toleransı) altına düşünceye kadar işlemler tekrarlanmıştır. Bu çalışmada yakınsama toleransı olarak 10-4 kullanılmıştır.
3. SONUÇLARIN İRDELENMESİ
3.1. Optimum Grid Sayısının Tespiti
Diferansiyel denklemlerin sabit grid aralıklarındaki çözümü göstermiştir ki elde edilen sonuçların güvenilir olabilmesi için grid sayısının yeterince yüksek olması gerekmektedir. Bu durumda akış bölgesinde bilinmeyen nokta sayısı aşırı miktarda artmakta ve hesaplama süresi uzamaktadır. Bunun için sayısal sonuçları etkilemeyecek optimum grid sayısının belirlenmesi gerekmektedir. Tablo 1’de çatılar için seçilen grid sayıları verilmiş olup, bu grid sayılarında hesaplamalar tekrarlanarak ortalama Nusselt sayısında değişimin yaşanmadığı minimum grid sayısı optimum olarak seçilmiştir. Şekil 3’te beşik ve mansart çatı tipleri için farklı grid sayılarında elde edilen ortalama Nusselt sayılarına ait grafikler gösterilmiştir. Bu sonuçlara göre her iki çatı tipi için optimum grid sayısı yaz sezonu için 97x97 ve kış sezonu için 77x77 olarak alınmıştır.
3.2. Sonuçların Literatür İle Karşılaştırması
Mevcut çalışmada elde edilen sayısal sonuçların doğruluğunu kontrol etmek için literatürdeki benzer çalışmalar ile karşılaştırmak gerekir. Bu çalışmada beşik çatıda yaz sezonu için hesaplanan yerel ve ortalama Nusselt sayıları literatürdeki çalışmalarla karşılaştırılmış ve sonuçlar Şekil 4 ve 5’de verilmiştir. Şekil 6 ve 7’de görüldüğü gibi hesaplanan yerel ve ortalama Nusselt sayıları ile literatürdeki [4, 9] değerler birbirine çok yakındır. Dolayısıyla bu çalışmada kullanılan sayısal yöntem ve matematiksel formülasyonun doğruluğu ispatlanmıştır.
3.3. Akış ve Sıcaklık Alanının İncelenmesi
Beşik çatının yaz sezonunda tüm Rayleigh sayılarındaki akışkan hareketi tek akış hücresinden oluşmaktadır. Ra=103’te akış hücresinin merkezi simetri yüzeyine daha yakın iken (Şekil 6.a sol taraf) Ra=107’de bu merkez eğimli sıcak yüzey boyunca çatının alt ucuna doğru kaymaktadır (Şekil 6.b sol taraf). Bu kayma hareketiyle birlikte en dıştaki sabit akım çizgisi dolayısıyla da akışkan hareketi simetri yüzeyinden uzaklaşmaktadır. Böylece simetri yüzeyinin alt kısmındaki durgun bölge genişlemektedir. Bunun sebebi sıcaklık farkının artmasıyla alan olarak soğuk yüzeyden daha büyük olan eğimli sıcak yüzeyin, akışkan hareketi üzerindeki etkisinin artmasıdır. Bu etki beraberinde akışkanın soğuk olan alt yüzeydeki hareketinin, sıcak olan üst yüzeylere doğru kaymasına neden olmaktadır.
Mansart çatının yaz sezonuna ait akışkan hareketi de tek akış hücrelidir. Ra=103’te hücre merkezi, soğuk alt yüzeye temas eden eğimli yüzeye yakındır (Şekil 6.a sol taraf). Ra=107’de hücre merkezi mansart çatının sıcak olan iki eğimli yüzeyinin kesişme noktasına doğru kayar (Şekil 6.b sol taraf ). Bu hareket akış hücre merkezinin beşik çatının yaz sezonunda görülen aynı eğime sahip sıcak yüzeye doğru kaymasına benzemektedir. Rayleigh sayısının artmasıyla hücre merkezinin etrafındaki eğriler daha da sıklaşarak bu bölgede daha güçlü bir konveksiyon oluşur. Tüm Rayleigh sayılarında çatının sağ alt kısmında akışkanın durgun olduğu bölgeler oluşmuştur. Akış hızları beşik çatıdakine benzerdir.
Beşik çatının yaz sezonunda Ra=103’te sabit sıcaklık eğrisi (Şekil 6.a sağ taraf)’da gösterilmiştir. Şekilde görüldüğü gibi sabit sıcaklık eğrileri eşit aralıklı ve sıcak olan eğimli yüzey ile soğuk olan alt yüzeye yakın bulunmaktadır. Orta bölgelerde ise sabit sıcaklığa sahip geniş bir alan vardır. Bu durumda kondüksiyonun ısı transferi üzerinde daha etkili olduğu söylenebilir. Rayleigh sayısının 107 olmasıyla birlikte konveksiyonun ısı transferine etkisi daha da belirginleşir (Şekil 6.b sağ taraf). Eğimli yüzeyin dik duvara yakın bölgelerindeki sabit sıcaklık eğrilerinde soğuk alt yüzeye doğru dalgalı bir hareket başlar. Böylece orta kısımdaki sabit sıcaklıklı bölge daralarak konveksiyonla ısı transferi tüm kapalı hacimde etkili olur.
Mansart çatıda yaz sezonunda konveksiyonun ısı transferi üzerindeki etkisi, beşik çatıya göre daha az olmaktadır Bunun sebebi mansart çatının sıcak olan üst eğimli yüzeyleri ile soğuk olan alt yüzeyi arasındaki mesafenin beşik çatıya oranla daha büyük olmasıdır. Bu mesafe nedeniyle Ra=103’te sıcak ve soğuk yüzeylere yakın olan bölgeler dışındaki büyük bir alanda sıcaklık sabittir (Şekil 6.a sağ taraf). Sıcak ve soğuk yüzeylere yakın bölgelerdeki sabit sıcaklık eğrileri ise bu yüzeylere paraleldir. Ra=107’de sıcak olan eğimli yüzeylere yakın sabit sıcaklık eğrileri aşağıya doğru eğim almıştır. Ancak bu Rayleigh değerinde bile sabit sıcaklıklı geniş bir bölge bulunmaktadır. (Şekil 6.b sağ taraf).
Beşik çatıda yaz sezonunda olduğu gibi kış sezonunda da Ra=103 için akışkan hareketi tek akış hücresinden oluşmaktadır (Şekil 7.a sol taraf). Rayleigh sayısı 107 olduğunda simetri yüzeyine yakın olan ve ‘y’ yönünde yüksekliğin maksimum olduğu bölgelerde iki ayrı akış hücresi daha oluşur (Şekil 7.b sol taraf). Bu iki hücreden biri sıcak olan alt yüzeye diğeri de soğuk olan eğimli yüzeye daha yakındır. Ayrıca bu iki akış hücresini dıştan saran ve sıcak ile soğuk yüzeyler arasında hareket eden sabit akım çizgisi döngü yapmaktadır. Sıcak alt yüzey ile soğuk eğimli yüzeyin kesiştiği noktada ve eğimli yüzeyin sağ tarafında en üst kısmında iki küçük akış hücresi daha oluşmuştur. Bunlar ilk baştaki ana akış hücresinden kopan hücreler olup bu bölgelerde küçük girdapların oluştuğunu göstermektedir. Kış sezonunda daha yüksek akış hızıyla birlikte kapalı hacmin tamamında etkili olan konveksiyon akışı görülmektedir.
Mansart çatıda kış sezonuda Ra=103’teki akışkan hareketi yaz sezonuna benzerdir (Şekil 7.a sol taraf). Ancak Ra=107’de akış hücre merkezi sıcak alt yüzey ile soğuk eğimli yüzeyin kesişme noktasına doğru kayar (Şekil 7.b sol taraf). Bu arada en dıştaki akım çizgisi sıcak olan alt yüzeylere dalgalı hareketlerle daha yakın geçmekte ve çatınının büyük bir kısmında sabit akım eğrileri seyrek aralıklarla döngü yapmaktadır. Bu nedenle mansart çatıda konveksiyonun etkisinin beşik çatıya göre düşük olduğu söylenebilir. Bunun sebebi mansart çatıda sıcak alt yüzey alanının soğuk eğimli yüzeylerin alanına oranının beşik çatıya göre düşük olmasıdır. Bu yüzden yüksek Rayleigh sayılarında bile beşik çatıya göre daha düşük akış hızları görülür.
Beşik çatıda yaz sezonunda olduğu gibi kış sezonunda da Ra=103 için konveksiyonun ısı transferine etkisi azdır (Şekil 7.a sağ taraf). Ancak Ra=107’de çatının tamamını dolduran sabit sıcaklık eğrileri görülmektedir (Şekil 7.b sağ taraf). Bu durumda ısı transferinin de oldukça arttığı muhakkaktır. Ancak Rayleigh sayısının yüksek olduğu bu durumda laminer akışın halen devam ettiğini söylemek doğru olmayabilir. Yüksek Rayleigh sayılarında kış sezonu için yaz sezonuna oranla konveksiyonun ısı transferine etkisi daha fazladır.
Mansart çatıda konveksiyonun ısı transferine etkisi yaz sezonunda olduğu gibi kış sezonunda da Ra=107’de olmaktadır. Özellikle soğuk eğimli çatı yüzeyi ile alttaki sıcak yüzeyin kesişme noktasındaki sabit sıcaklık eğrilerinin konveksiyon etkisiyle sıcak yüzeye doğru hareket ettiği görülür (Şekil 7.b sağ taraf). Yüksek Rayleigh sayılarında kış sezonu için yaz sezonuna göre konveksiyonun daha çok etkili olduğu söylenebilir.
3.4. Isı Transferinin İncelenmesi
3.4.1. Yerel Nusselt sayıları
Beşik ve Mansart çatı tiplerinde Ra=103 ve 106 için yaz ve kış sezonunda yerel Nusselt sayılarının tavan ve çatı yüzeyleri boyunca değişimleri Şekil 8-11’de verilmiştir. Şekil 8’de görüldüğü gibi yaz sezonunda Ra=103’te mansart çatıdaki yerel Nusselt sayısı değişimi beşik çatıdakine benzer bir eğilim göstermekle birlikte daha düşük değerdedir. Bunun sebebi mansart çatıdaki eğim açısının beşik çatıya oranla daha büyük olmasından kaynaklanmaktadır. Ra=106 olduğunda mansart çatıdaki yerel Nusselt sayısında dalgalanmalar olmakla birlikte daha düşük değerlerdedir (Şekil 9).
Kış sezonu için her iki çatı tipinde Ra=103’te yerel Nusselt sayılarında yaz sezonuna benzer eğilimler görülmekle birlikte, Ra=106 olduğunda yerel Nusselt sayısı değişimlerinde dalgalanmalar görülmektedir. Sonuçta Ra=106’da her iki çatı için konveksiyonun ısı transferi üzerine etkisinin arttığını göstermektedir.
3.4.2. Ortalama Nusselt Sayıları
Yaz sezonunda beşik ve mansart çatılar için Rayleigh sayısının 105 değerine kadar ortalama Nusselt sayılarında bir değişim görülmemekle birlikte Ra=105’den sonra hızlı bir artış olmaktadır (Şekil 12). Şekilde görüldüğü gibi bu artış miktarı mansart çatıda daha fazladır.
Kış sezonunda Ra=105 değerine kadar beşik ve mansart çatıdaki ortalama Nusselt sayıları sabit bir eğilim göstermektedir (Şekil 13). Ra=105’den sonra her iki çatı için ortlama Nusselt sayılarında büyük bir artış görülmektedir. Yaz sezonuna oranla kış sezonunda Rayleigh sayısının artmasıyla ulaşılan Nusselt sayısı değerleri çok daha yüksektir.
4. SONUÇLAR
Beşik ve Mansart çatılarda konveksiyonla ısı transferi probleminden çıkarılan sonuçlar aşağıdaki gibi özetlenebilir:
Çalışmada kullanılan sayısal çözüm metodunun bu tip problemlerin çözümünde kullanılabilirliği ispatlanmıştır.
Rayleigh sayısı ve çatı geometrisinin akış ve sıcaklık alanlarını direkt etkilediği tespit edilmiştir.
Her iki çatı tipi için kış sezonundaki yerel Nusselt sayıları yaz sezonuna göre daha yüksektir.
Rayleigh sayıları arttıkça yerel ve ortalama Nusselt sayıları artmaktadır.
Yaz ve kış sezonunda mansart çatıdaki ortalama Nusselt sayısı beşik çatıya oranla daha yüksektir.
Yaz sezonuna oranla kış sezonunda Rayleigh sayısının artmasıyla ulaşılan ortalama Nusselt sayısı değerleri çok daha yüksektir
SEMBOLLER
g : Yerçekimi ivmesi (m/s2)
Gr : Grashof sayısı
H : Çatı yüksekliği (m)
L : Çatı uzunluğu (m)
Nux : Yerel Nusselt sayısı
Nu : Ortalama Nusselt sayısı
Pr : Prandtl sayısı
r : Relaksiyon faktörü
Ra : Rayleigh sayısı
T : Sıcaklık (K)
Tc : Çatının soğuk yüzey sıcaklığı (K)
Th : Çatının sıcak yüzey sıcaklığı (K)
T1 : Sıcaklığın yeni değeri (K)
T0 : Sıcaklığın eski değeri (K)
Thesaplanan : Sıcaklığın hesaplanmış değeri (K)
Tç : Çatı yüzey sıcaklığı (K)
Tt : Tavan yüzey sıcaklığı (K)
x : Yatay kartezyen koordinat
y : Dikey kartezyen koordinat
Dx : ‘x’ yönündeki boyutsuz grid aralığı
Dy : ‘y’ yönündeki boyutsuz grid aralığı
b : Isıl genleşme katsayısı (K-1)
y : Akım fonksiyonu
w : Girdap fonksiyonu
Y : Boyutsuz akım fonksiyonu
y : Boyutsuz girdap fonksiyonu
q : Boyutsuz sıcaklık fonksiyonu
r : Yoğunluk (kg/m3)
u : Kinematik viskozite (m2/s)
KAYNAKLAR
[1] www.eie.gov.tr
[2] Morsi, Y.S., Das, S., 2003, Numerical investigation of natural convection inside complex enclosure, Heat Transfer Engineering, 24, No.2, 30-41.
[3] Asan, H., Namli, L., 2001, Numerical simulation of bu oyant flow in a roof of triangular cross-section under winter day boundary conditions, Energy and Buildings, 33, 753-757.
[4] Asan, H., Namli, L., 2000, Laminar natural convection in a pitched roof of triangular cross-section: summer day boundary conditions, Energy and Buildings, 33, 69-73.
[5] Moukalled, F., Acharya, S., 2001, Natural convection in a trapezoidal enclosure with offset baffles, Journal of Thermophysics and Heat Transfer, 15, No.2, 212-218.
[6] Varol, Y., Koca, A., Oztop, H.F., Natural convection he at transfer in gambrel roof, Building Environment, 2006 (In print).
[7] Koca, A., 2005, Farklı çatı tiplerinde laminer doğal konveksiyonla ısı transferinin sayısal olarak incelenmesi, Doktora Tezi, Fırat Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, 84s.
[8] Özışık, M.N., 2000, Finite Difference Methods in Heat Transfer. CRC Press, Florida, 412p.
[9] Akinsete, V.A., Coleman, T.A., 1982, Heat transfer by steady laminar free convection in triangular enclosures, Int. J. Heat and Mass Transfer, 25, 991-998.
(a)Yasin VAROL - Ahmet KOCA(a) - Hakan F. ÖZTOP(b)
(a) Fırat Üniversitesi Teknik Eğitim Fakültesi Makina Eğitimi Bölümü
(b) Fırat Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makina Mühendisliği Bölümü
