Slider Altına

Aeroakustiğin Temel Denklemleri Üzerine Teorik Bir Yaklaşım

05 Eylül 2006 Dergi: Eylül-2006
Ayrıca Couchy teoremi ile analitik olarak bulunan sonuçlarla kıyas yapılmıştır. Çıkarılan bu denklemler yardımıyla akışkan içinde yayılan hız, yoğunluk ve basınç değişimleri incelenmiştir. Bu değişimler birer rahatsızlıktır ve çok küçük olduğu için uzun mesafelere yayılmamaktadır. Akım uniform ve akışkan sıkışamaz kabul edilmiştir. Uniform akım olduğundan x doğrultusundaki değişimlerin ihmal edildiği kabul edilmiştir, rahatsızlıklar çok küçük ve uzun mesafelere yayılmadığı için viskozitenin ve ısı iletiminin etkisi ihmal edilmiştir.


Anahtar kelimeler: Aeroakustik, rahatsızlık, uniform akım


A THEORETICAL APPROACH TO AEROACUSTIC BASIC EQUATIONS

ABSTRACT

Aeroacustic is a term which is related to the emission of sound in the fluid. In this study, in order to make the aerodynamic noise theory to be understood, some necessary physical views are investigated and the basic equations are determined, then these governed equations are solved by using finite difference method. Furthermore, they were compared to the results obtained by using Couchy theorem analytically. With the help of these governed equations the variations of pressure, speed and density in the fluid are examined. Each of these variations is an ailment, and all of them are so slight to diffuse long distances. The flow is considered uniform and incompressible. Due to this uniformity the variations along x-axis are negligible. Additionally, as the ailments are so slight and can’t be diffused along long distances the effects of viscosity and heat conduction are neglected as well.

Key words: Aeroacustic, ailment, uniform flow.

benzer sınır şartı için Şekil 3’de x=0.5 alınarak basıncın yayılımı gösterilmiştir. Sonuçta, basınç değerinin de yeniden azaldığı görülmüştür. Şekil 4’de g(x) fonksiyonu trigonometrik fonksiyon olarak seçilmiş, hızın zamanla sıfıra yaklaştığı, Şekil 5’in de g(x) fonksiyonu benzer şekilde seçilmiş, titreşimler olduğu neticede hızın zamanla azaldığı görülmüştür. Sonuç olarak bu çalışmada, tüm şekillerde de seçilen fonksiyona bağlı olarak rahatsızlıkların dalga halinde yayılıp en sonunda da azalıp söndüğü yani sıfıra yaklaştığı görülmüştür.

1. GİRİŞ

Bu çalışmada bir temel akım (bu sükunet hali de olabilir) mevcut olduğu farz edilerek bunun içinde meydana geldiği düşünülen küçük bir rahatsızlığın lineer etkileri incelenmiştir. Bir dış kuvvet yardımıyla akışkanın temel akım halindeki özellikleri değiştirilmiştir. Başlangıç halindeki akım özellikleri ile değişim sonucu oluşan özelliklerin arasındaki fark birer rahatsızlıktır ve bu rahatsızlıklar çok küçüktür.

Aeroakustik, çoğu zaman sadece sesin hava ve su gibi akışkanlara yayılımı ile ilgilidir, çok küçük viskozite ve ısıl iletkenliğe sahiptir. Akışkan içinde yayılan rahatsızlıklar, çok geniş olmayan kendi kendine oluşan şok dalgası gibi rahatsızlıklarla da ilgilidir. Bu tür problemlerde, viskozite ve ısıl iletkenlik ihmal edilebilir ve akışkan hareketine Euler denklemi, momentum denklemi gibi denklemlerin çözümü ile karar verilebilir. Aeroakustikte kullanılan fikirlerin ve tekniklerin çoğu, klasik akustikten ya da hareketli ortamın akustiğinden direkt olarak faydalanır. Aerodinamik gürültü teorisinin anlaşılması için gerekli olan bilgiler ve konunun anlaşılması için gerekli matematiksel bilgiler literatürden alınabilir [1].

Tüm gerçek akışlar hem esnekliğe hem de hareketsizliğe sahiptir. Bu iki özellikten dolayı akışkanda oluşan basınç (ya da yoğunluk) iniş çıkışları çevre ortama iletilir. Rahatsızlıklar havaya ve kulağa vardığı zaman kulak zarında titreşimlere neden olur ve beyine işitsel sinirler yardımıyla transfer edilir. Bu noktada bu rahatsızlıklar gürültü gibi tanımlanabilir [1].

Tamamıyla farklı noktalardaki hareketli ortamın akustiğinin bir davranışı Blokhintsev [2] tarafından belirlenmiştir. Buradaki yaklaşım akışkanların sadeliğine bağlıdır. Hareketli bir ortamda gürültünün çoğalması ile gelişen denklemler, genellikle karmaşık ya da basit denklemlerdir. Aerodinamik gürültüde, hız gradyenlerinin etkisi azdır ve gradyenlerin termodinamik değişkenlere etkisi yoktur.

Katı ve titreşimsiz yüzeylerde gürültü mekanizmasının rolü, klasik aeroakustikte tanıtılmıştır. Örneğin akış durumunun silindirlerde gürültüye nasıl neden olduğu açıklanabilir ve bu durum katı cisimler tarafından akış kaynaklarının bir problemi gibi formüle edilebilir [3].

Son zamanlarda, otomotiv sektöründe plastik üretimi oldukça önem kazanmıştır. Ancak plastik üretimi sırasında, hava girişinde akıştan kaynaklanan gürültü ciddi bir problem olmuştur. Açılan bir kısma valfından içeri doğru olan aerodinamik gürültü, kullanılan bir akustik analog tarafından ölçülmüştür. İntegral formülü, genel Green fonksiyonu, Curle ve Lighthill’in akustik analoğu kullanılarak elde edilmiştir [4].

Yakın zamanda yapılan bir çalışmada [5] Lattice-Boltzmann metodu kullanılarak durgun olmayan akışta ses ve radyasyon oluşumu hesaplanmıştır. Başka bir sayısal çalışmada ise aeroakustik çalışmalarında kolaylık sağlayacak bir simülasyon çalışması yapılmıştır. Özellikle bu modellemede dalganın yayılma özelliği yakından incelenebilmiştir [6].

Bu çalışmada, aeroakustiğin temel denklemleri çıkartılmış ve elde edilen rahatsızlık denklemleri FORTRAN programlama dili yardımıyla sonlu farklar metodu kullanılarak sayısal olarak çözülmüştür. Böylece hız, basınç ve yoğunlukta meydana gelen değişimler hesaplanmıştır. Hesaplanan değerler, rahatsızlığın yayıldığı kabul edilen x doğrultusundaki birim mesafeyi gösteren Dx ile zaman dilimini gösteren Dt arasındaki ilişkiye bağlı olarak eşit ya da farklı bulunmuştur. Ayrıca bu sonuçlara uygun grafikler çizilmiş, bu grafiklerde rahatsızlığın dalga halinde küçülerek yayıldığı tespit edilmiştir.

2. TEORİK YAKLAŞIM

2.1. Hareketli Ortamın Akustiğinin İncelenmesi

Çalışmada akışkan olarak hava göz önüne alınmış ve havanın temel akım halindeki özellikleri uygulanan bir dış kuvvet yardımıyla değiştirilmiştir. Havanın dış kuvvet uygulanmadan önceki özellikleri ile dış kuvvet uygulandıktan sonra meydana gelen özellikleri arasındaki fark birer rahatsızlıktır. Bu rahatsızlıklar, çok küçüktür ve uzun mesafelere yayılmamaktadır. Göz önüne alınan akışkan hareketi için Euler denklemlerinin kullanılması yeterlidir. Yukarıda belirtildiği gibi rahatsızlıklar yeteri kadar küçükse ısı iletimi ve viskozitenin etkisi ihmal edilebilir. Kullanılan temel denklemlerden Euler, süreklilik, entropi ve enerji denklemleri sırasıyla aşağıdaki gibidir.

burada c, ses hızının tanımıdır; Temel akım için bütün büyüklükler (0) alt indisi ile gösterilsin; yani hız v0, basınç p0, entropi S0=S(p0,r0) ve c0=c(p0,r0) ile verilsin. (1), (2), (3) ve (4) denklemlerinin rahatsızlıklar oluşmadan önceki temel akım biçimleri (F=0, q=0);

şeklinde olacaktır. Akımın rahatsızlıklar oluştuktan sonraki özelliklerinin p, S, c2, r ile verildiğini ve rahatsızlıktan kaynaklanan değişimlerinin de p¢, S¢, c2¢ ve r¢ ile gösterildiği düşünülürse rahatsızlıklar çok küçük ve değişimlerin lineer kabul edildiği varsayımıyla p¢=p-p0, r¢=r-r0, S¢=S-S0, c2¢= c2- c02 ve u=v-v0 şeklinde kabul edebiliriz. Dalga periyodu, Tp = 1/f ve

C frekans değeri, f = ĞĞĞ dır. Dolayısıyla yukarıdaki kabuller ışığında, l yazılabilir. Aynı zamanda p¢ << poñ, r¢ << r0ñ, S¢<< S0ñ, c2¢ < elde edilir. Yukarıdaki özelliklerin zaman ortalamasını göstermek için (-) üssü ifadesi kullanılabilir. Zaman ortalaması da belirli bir zaman aralığında belirli bir noktada oluşan farklı değerlerin ortalaması olarak tanımlanabilir. Böylece denklemleri boyutsuz hale getirmek için;

ifadesi yazılabilir. Denklem (2) rahatsız edilmiş akım için aşağıdaki gibi bulunur.

Bu son denklemi daha kullanışlı hale getirmek için Denklem (6)’daki 2. bağıntı ve denklem (10) kullanılır. Gerekli matematik işlemler yapıldıktan sonra, C=fl yazılırsa ve birim dalga için dalga boyu l=1 alınırsa rahatsızlık değişkenleri için [7];

elde edilir. Denklem (3) rahatsız edilmiş akım için aşağıdaki biçimde yazılır:

(10) denklemleri kullanılıp , l=1 alınarak rahatsızlık değişkenleri için:

elde edilir. Denklem (1) rahatsız edilmiş akım için;

biçiminde yazılır. Denklem (10)’daki bağıntılar kullanılarak ve l=1 alınarak rahatsızlık değişkenleri için;

denklemi bulunur. Enerji denklemi rahatsız edilmiş akım için;

biçiminde yazılır. Denklem (10)’daki bağıntıların tekrar kullanılmasıyla l=1 için rahatsızlık değişkenlerine bağlı denklem:

haline dönüşür. Ara işlemlerinde e’lu terimleri de ihmal ederek, yalnızca rahatsızlık değişkenleri için 1. mertebeden aeroakustik yaklaşım denklemleri şu şekilde elde edilir [7]:

2.2. Sakin Akışkan Halinde Rahatsızlık Dağılımı İçin Basit Çözümler

Elde edilen denklemlerde, r0=st. ve p0=st alınıp akışkan sakin olduğu için de v0=0 alınırsa rahatsızlık denklemleri aşağıdaki gibi basitleştirilebilir (Yazım kolaylığı açısından ‘¢’ işareti bundan sonraki kısımda kullanılmamıştır).

elde edilir. Bu denklem t’ya göre integre edilirse:

bulunur. Denklem (22) ve (23) kullanılarak denklem (25) ve (21)’den denklem (26) elde edilir. Denklem (25)’in x’e göre, denklem (26)’nın da t’ya göre türevi alınıp taraf tarafa çıkarılırsa denklem (27) bulunur.

Elde edilen denklem (24), (26), (27)’nin çözümü için iki yol vardır. Bunlar, sonlu farklar metodu kullanılarak yapılan sayısal çözüm ve analitik çözümdür. Rahatsızlık bir noktadan başlayıp simetrik olarak yayılmaktadır. Verilen sınır şartlarına uygun bir çözüm elde edebilmek için rahatsızlığın oluştuğu alan keyfi sayıda parçalara bölünmüştür. Rahatsızlığın dağılımı ve sınır şartlarını Şekil 1’de verilmiştir.

Hız, basınç ve yoğunluk değerleri, FORTRAN bilgisayar dilinde hazırlanan bir program yardımıyla sayısal olarak bulunmuştur [7]. Farklı başlangıç şartları, x ve t’nun farklı değerleri için sayısal olarak incelenmiş ve cx³t olması gerektiği görülmüştür. Kullanılan hiperbolik denklemlerin karakteristik doğruları x±ct=st doğrularıdır. Şekil (1)’de verilen bir N noktası düşünülsün; bu noktadan geçen x±ct=st doğruları çözüm bölgesini K ve L bölgelerine ayırmaktadır. N noktasının hesaplanması için 0² x ² N üzerinde verilmiş olan başlangıç şartlarının tümü değil, sadece DE üzerindeki bölümü gerekli ve yeterli olmaktadır. Bu nedenle K bölgesine N noktasının ‘Bağımlılık Bölgesi’ adı verilmektedir. Benzer şekilde N noktasındaki değerlere bağımlı olan bütün noktalar da L bölgesi içerisinde yer almakta ve bu nedenle E bölgesine N noktasının ‘Etki Bölgesi’ adı verilmektedir.

3. BULGULAR ve DEĞERLENDİRME

Daha önce de belirtildiği gibi çalışmada akışkan olarak hava göz önüne alınmıştır. Akışkan sıkışamaz ve akım uniform kabul edilmiştir. Akışkan sıkışamaz olduğundan r0=st ve akım uniform olduğu için de akım doğrultusundaki değişimler incelenmiştir. Rahatsızlık çok küçük kabul edildiğinden viskozitenin etkisi ihmal edilmiştir. Rahatsızlık uzun mesafelere yayılmayacağından x, benzer şekilde uzun süreli olmayacağından t küçük değerler alacaktır.

Denklemlerde geçen ses hızı c02 boyutsuzdur. Boyutsuzlaştırma işlemi, c02= c02/c02ñ ifadesi kullanılarak yapılmıştır. Burada, ses hızının yer ortalamasını göstermektedir. O halde , c02’ye yakın ya da eşit bir değer olacaktır. Bu durumda c02/ oranı yani c02 1 ya da 1’e yakın bir değer alacaktır. Benzer şekilde r0 = r0 / r0ñ olduğundan r0‘da 1 ya da 1’e yakın bir değer olacaktır.

Rahatsızlığı oluşturan temel unsur kuvvettir. Rahatsızlıklar çok küçük olduğu için, onu oluşturacak olan F kuvveti de çok küçük olmalıdır. x ve t’un farklı değerleri için sayısal sonuçları incelendiğinde c.x³t olması gerektiği görülmüştür. Bir noktadaki değerlerin hesabı, o noktaların bağımlılık bölgesi içinde kalan değerlere bağlıdır. Bağımlılık bölgesi dışında kalan değerler çözüm için kullanılmaz. Şekil (1)’de görülen N noktasının hesaplaması için sadece DE doğrusu üzerindeki şartlar gerekli ve yeterlidir. ON=t ise DE=2x’dir, yani N noktası için DE’deki tüm bilgiyi kullanmak üzere x=t seçmiş oluyoruz. Şimdi NDE bölgesi içinde bir N1 noktasını düşünelim. N1 noktası D ve E ‘in etki bölgesi içindedir, DE üzerindeki bilgiler yardımıyla hesaplanabilir. Bölge dışında kalan başka bir N2 noktasının çözümü için DE’ deki bilgi yeterli olmayabilir. O halde bu hiperbolik denklemin çözümü için cx ³t alınması gerek ve şarttır. Denklemler farklı sınır şartları altında sayısal ve analitik olarak çözülmüştür. Çözümlerden görülmüştür ki; cx³t alınması sayısal ve analitik çözümlerin birbirine yakın olmasını sağlamıştır. Aksi durumda ise sonuçlar tamamen hatalıdır.

Şekil 2-5’deki grafikler incelendiğinde rahatsızlığın dalga halinde küçülerek yayıldığı görülmüştür. Şekil 2’de, keyfi olarak seçilen f(x) ve g(x) fonksiyonlarına bağlı olarak hızın dağılımı görülmektedir. Rahatsızlığın yayıldığı x doğrultusunda x=1 alınarak her bir zaman dilimi için hızın azaldığı ve rahatsızlığın bitim noktasında sıfıra yaklaştığı görülmektedir.

SEMBOLLER

c0 Temel akım halindeki ses hızı

c¢ Rahatsızlıktan meydana gelen ses hızı değişimi

C Temsili dalga yayılma hızı

e Sabit bir sayı

f Dalganın frekans değeri (1/sn)

F Rahatsızlığı oluşturan dış kuvvet

P0 Temel akım basıncı

p¢ Rahatsızlıktan meydana gelen basınç değişimi

q Hız ve yoğunluk gradyeni ile orantılı bir büyüklük

s Entropi

Tp Dalga periyodu

U Temel akım doğrultusunda rahatsızlıktan meydana gelen hız değişimi

v0 Temel akım doğrultusundaki hız

v Rahatsızlık sonucu oluşan taşınım hızı

l Dalga boyu

r0 Rahatsızlık oluşmadan önceki temel akım yoğunluğu

r¢ Rahatsızlıktan meydana gelen yoğunluk değişimi

t Gecikme zamanı z

KAYNAKLAR

[1] Goldstein, M.E. 1976. Aeroacoustics, McGraw-Hill International Book Co. New York.

[2] Blokhintsev, D.I. 1956. Acoustics Of A Nonhomogeneous Moving Medium, NACA TM1399.

[3] Gloerfelt, X., Perot, F., Bailly, C. and Juve, D. 2005. Flow-Induced Cylinder Noise Formulate as A Diffraction Problem For Low Mach Numbers, Journal of Sound and Vibration. 287(1-2), 129-51.

[4] Jewook, R., Cheolung, C., Sungtae, K. and Soogab, L. 2005. Computation Of Internal Aerodynamic Noise From A Quick-Opening Throttle Valve Using Frequency-Domain Acoustic Analogy, Applied Acoustics. 66(11), 1278-1308.

[5] Wilde, A. 2006. Calculation of Sound Generation and Radiation from Instationary Flows, Computers & Fluids, 35 (8-9), 986-993.

[6] Alléon, G. Champagneux, S. Chevalier, G. Giraud L. and Sylvand G. 2006. Parallel Distributed Numerical Simulations in AeronauticApplications, Applied Mathematical Modelling, Volume 30 (8), 714-730.

[7] Özgen, F. 2000. Aeroakustiğin Temel Denklemleri, Yüksek Lisans Tezi, Fırat Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Elazığ.

Filiz ÖZGEN

Fırat Üniversitesi, Teknik Eğitim Fakültesi, Makina Eğitimi Bölümü


Etiketler


Video İçerik

Performansa Dayalı Deprem Tasarımı Yaklaşımı

Sempozyum